POLYMÊTIS · App 46 · Curvas de Fragilidad

Modelo de Baker (2015) — Earthquake Spectra: Ajuste de curva de fragilidad lognormal P(C|IM=x) = Φ[(ln x/θ)/β] mediante máxima verosimilitud (MLE). Soporta tres tipos de datos: IDA completo (método de momentos, Ecs. 2-3), IDA truncado (MLE censurado, Ec. 7) y Análisis de Franjas Múltiples MSA (MLE binomial, Ec. 11). Basado en la hoja de cálculo FEMA P-58 de J. W. Baker, Stanford.

§ 1 Método de Análisis

MSA Multiple Stripes Analysis IDA Incremental Dynamic Analysis IDA-T IDA Truncado (datos censurados)

MSA: Para cada nivel de intensidad IM = xⱼ, ingresar el número total de registros nⱼ y el número que causó colapso zⱼ. Ajuste por máxima verosimilitud con distribución binomial (Ec. 11, Baker 2015).

§ 2 Medida de Intensidad y Parámetros

Nombre medida de intensidad (IM)

Nombre del estado límite

Valores iniciales θ₀ (mediana estimada)

Estimación previa del punto 50% — mejora convergencia

Valor inicial β₀ (dispersión estimada)

—

Dispersión típica: 0.3–0.6 para colapso RC

§ 3 Datos MSA — Niveles IM, Registros y Colapsos

Ingrese los niveles de intensidad, el total de registros analizados y los colapsos observados en cada franja. Mínimo 3 franjas recomendadas. Las filas vacías se ignoran.

#	IM = xⱼ	nⱼ (total registros)	zⱼ (colapsos)	zⱼ/nⱼ (fracción)

§ 1 Función de Fragilidad Lognormal

La función de fragilidad P(C|IM) especifica la probabilidad de que un movimiento con intensidad IM cause el estado límite de interés. El modelo lognormal es el más utilizado en ingeniería sísmica (FEMA P-58, ASCE 41, PEER).

Función de fragilidad (Ec. 1 — Baker 2015):
P(C|IM=x) = Φ[ ln(x/θ) / β ]

θ = mediana (valor IM con 50% probabilidad de colapso)
β = desviación estándar de ln(IM) = dispersión

§ 2 IDA — Método de Momentos (Ecs. 2–3)

Datos: IMᵢ = nivel de intensidad al que el registro i causa colapso

ln(θ̂) = (1/n) Σᵢ ln(IMᵢ) → θ̂ = exp(media de ln IMᵢ)
β̂ = √[ (1/(n−1)) Σᵢ (ln(IMᵢ/θ̂))² ]

Estimador de método de momentos — no requiere optimización numérica.

§ 3 IDA Truncado — MLE con Datos Censurados (Ec. 7)

Datos: m registros colapsaron a IMᵢ < IM_max; (n−m) registros no colapsaron antes de IM_max (datos censurados por la derecha).

ℓ(θ,β) = Σᵢ₌₁ᵐ ln φ[(ln IMᵢ/θ)/β] + (n−m)·ln{1−Φ[(ln IM_max/θ)/β]}

Maximizar ℓ respecto a θ y β numéricamente.

§ 4 MSA — MLE Binomial (Ec. 11)

Datos: en la franja j con IM=xⱼ, zⱼ de nⱼ registros causaron colapso.
pⱼ = P(C|IM=xⱼ) = Φ[(ln xⱼ/θ)/β]

ℓ(θ,β) = Σⱼ { zⱼ·ln(pⱼ) + (nⱼ−zⱼ)·ln(1−pⱼ) }

Maximizar ℓ respecto a θ y β. Reemplaza la alternativa de mínimos cuadrados (sesgada, Ec. 12) o Porter et al. Method B.

§ 5 Optimización Numérica

Se implementa gradiente ascendente con tasa de aprendizaje adaptativa (50,000 iteraciones). El optimizador opera en espacio transformado (ln θ, ln β) para mejorar la geometría del espacio de búsqueda y garantizar θ > 0 y β > 0. La convergencia se verifica por la magnitud del gradiente al final del proceso.

§ 6 Intervalo de Confianza (Hessiano)

El error estándar de los parámetros se estima a partir de la información de Fisher (−Hessiano de la log-verosimilitud), evaluado numéricamente en el óptimo:
Var(θ̂) ≈ [−∂²ℓ/∂θ²]⁻¹ evaluado en (θ̂, β̂)
IC 90%: θ̂ ± 1.645·SE(θ̂)

§ 7 Referencias

Baker, J. W. (2015). "Efficient analytical fragility function fitting using dynamic structural analysis." Earthquake Spectra, 31(1), 579–599.
FEMA P-58 (2012). Seismic Performance Assessment of Buildings. ATC-58, Cap. 6. Applied Technology Council.
Shinozuka, M. et al. (2000). "Statistical analysis of fragility curves." J. Engng. Mech., 126(12), 1224–1231.
Vamvatsikos, D. & Cornell, C. A. (2002). "Incremental dynamic analysis." EESD, 31(3), 491–514.
Porter, K., Kennedy, R. & Bachman, R. (2007). "Creating Fragility Functions for Performance-Based Earthquake Engineering." EQS, 23(2), 471–489.
Eads, L. et al. (2013). "An efficient method for estimating the collapse risk of structures in seismic regions." EESD, 42(1), 25–41.

DISCLAIMER DE RESPONSABILIDAD — POLYMÊTIS: Esta herramienta implementa las ecuaciones de Baker (2015) / FEMA P-58 para ajuste estadístico de curvas de fragilidad. Los parámetros resultantes dependen de la calidad y cantidad de los datos de análisis estructural ingresados. El ingeniero es responsable de verificar que los datos sean correctos y representativos, y de interpretar los resultados en el contexto de la incertidumbre asociada. POLYMÊTIS no asume responsabilidad por aplicaciones profesionales basadas exclusivamente en esta herramienta.